如图，圆C与x轴相切于点T（2，0），与y轴正半轴相交于两点M，N（点M在点N的下方），且|MN|=3．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆x28+y24=1相交于两点A、B，连接AN、BN，求证

Question

如图，圆C与x轴相切于点T（2，0），与y轴正半轴相交于两点M，N（点M在点N的下方），且|MN|=3．

（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆(x2)/(8)+(y2)/(4)=1相交于两点A、B，连接AN、BN，求证：∠ANM=∠BNM．

Answer 1

（Ⅰ）设圆C的半径为r（r>0），依题意，圆心坐标为（2，r）．
∵|MN|=3，∴r2=((3)/(2))2+22，解得r2=(25)/(4)，
故圆C的方程为(x-2)2+(y-(5)/(2))2=(25)/(4)．
（Ⅱ）把x=0代入方程(x-2)2+(y-(5)/(2))2=(25)/(4)，解得y=1或y=4，
即点M（0，1），N（0，4）．
（1）当AB⊥y轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM．
（2）当AB与y轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=kx+1．
联立方程

y=kx+1

x2+2y2=8

，消去y得，（1+2k²）x²+4kx-6=0．
设直线AB交椭圆Γ于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，
则x1+x2=(-4k)/(1+2k2)，x1x2=(-6)/(1+2k2)．

∴kAN+kBN=(y1-4)/(x1)+(y2-4)/(x2)=(kx1-3)/(x1)+(kx2-3)/(x2)=(2kx1x2-3(x1+x2))/(x1x2)=0，
∴∠ANM=∠BNM．
综上所述，∠ANM=∠BNM．