已知圆N经过点A（3，1），B（-1，3），且它的圆心在直线3x-y-2=0上．（Ⅰ）求圆N的方程；（Ⅱ）求圆N关于直线x-y+3=0对称的圆的方程．（Ⅲ）若点D为圆N上任意一点，且点C（3，0），求线段CD

Question

已知圆N经过点A（3，1），B（-1，3），且它的圆心在直线3x-y-2=0上．
（Ⅰ）求圆N的方程；
（Ⅱ）求圆N关于直线x-y+3=0对称的圆的方程．
（Ⅲ）若点D为圆N上任意一点，且点C（3，0），求线段CD的中点M的轨迹方程．

Answer 1

（Ⅰ）由已知可设圆心N（a，3a-2），又由已知得|NA|=|NB|，
从而有√((a-3)2+(3a-2-1)2)=√((a+1)2+(3a-2-3)2)，解得：a=2．
于是圆N的圆心N（2，4），半径r=√(10)．
所以，圆N的方程为（x-2）²+（y-4）²=10．（5分）
（Ⅱ）N（2，4）关于x-y+3=0的对称点为（1，5），
所以圆N关于直线x-y+3=0对称的圆的方程为（x-1）²+（y-5）²=10（9分）
（Ⅲ）设M（x，y），D（x₁，y₁），则由C（3，0）及M为线段CD的中点得：

x1=2x-3

y1=2y

．
又点D在圆N：（x-2）²+（y-4）²=10上，所以有（2x-3-2）²+（2y-4）²=10，
化简得：(x-(5)/(2))2+(y-2)2=(5)/(2)．
故所求的轨迹方程为(x-(5)/(2))2+(y-2)2=(5)/(2)（14分）