若直线(m+1)x+(n+1)y-2＝0与圆(x-1)∧2+(y-1)∧2＝1相切,则m+n的取值范围是?

Question

若直线(m+1)x+(n+1)y-2＝0与圆(x-1)∧2+(y-1)∧2＝1相切,则m+n的取值范围是?

Answer 1

圆心（1,1）半径为1
因为相切
所以由距离公式得
|m+1+n+1-2|/√[(m+1)²+(n+1)²]=1
m^2+2m+1+n^2+2n+1=(m+n)^2
m^2+2m+1+n^2+2n+1=m^2+2mn+n^2
化简得2mn=2(m+n)+2
m+n+1=mn
因为(m-n)^2≥0
m^2-2mn+n^2≥0
m^2+n^2≥2mn
m^2+2mn+n^2≥4mn
(m+n)^2≥4mn
mn≤(m+n)^2/4
令m＋n＝t,则有t＋1≤ t²/4
即t²－4t－4≥ 0
解得t≥ 2＋2√2或t ≤2－2√2
∴m＋n的取值范围是(－∞,2－2√2]∪[2＋2√2,＋∞).
是否可以解决您的问题?