已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为23，椭圆上的点到右焦点F的最大距离为5；（1）求椭圆的方程；（2）设过右焦点F的直线与椭圆交于A、B两点，且线段AB的中点M在直线l：x=t（t＞2）上的

Question

已知椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为(2)/(3)，椭圆上的点到右焦点F的最大距离为5；
（1）求椭圆的方程；
（2）设过右焦点F的直线与椭圆交于A、B两点，且线段AB的中点M在直线l：x=t（t＞2）上的射影为N，若

AN

•

BN

＝0，求t的取值范围．

Answer 1

（1）依题意，得

a+c＝5

(c)/(a)＝(2)/(3)

，解得，a=3，c=2，由b2=a2-c2，得b=√(5)，
∴椭圆方程为(x2)/(9)+(y2)/(5)＝1
（2）设直线AB方程为y=k（x-2），代入椭圆(x2)/(9)+(y2)/(5)＝1中，得
（9k²+5）x²-36k²x+36k²-45=0
∵直线与椭圆交于A、B两点，
有△（36k²）²-4（9k²+5）（36k²-45）=25×36（k²+1）＞0
|AB|=√(1+k2)|x1−x2|=(30(k2+1))/(9k2+5)
又由|MN|=t-(x1+x2)/(2)=t-(18k2)/(9k2+5)，又∵Rt△ABN中，M为斜边AB的中点，
∴|AB|=2|MN|，即(30(k2+1))/(9k2+5)=2t-