已知P是圆C：x2+y2=4上的动点，P在x轴上的射影为P′，点M满足PM=MP′，当P在圆上运动时，点M形成的轨迹为曲线E（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）经过点A（0，2）的直线l与曲线E相交于点C，D，并

Question

已知P是圆C：x²+y²=4上的动点，P在x轴上的射影为P′，点M满足

PM

=

MP′

，当P在圆上运动时，点M形成的轨迹为曲线E
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）经过点A（0，2）的直线l与曲线E相交于点C，D，并且

AC

=(3)/(5)

AD

，求直线l的方程．

Answer 1

（I）设M（x，y），则P（x，2y）在圆x²+4y²=4上，
所以x²+4y²=4，即(x2)/(4)+y2=1…..（4分）
（II）经检验，当直线l⊥x轴时，题目条件不成立，所以直线l存在斜率．
设直线l：y=kx+2．设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则

(x2)/(4)+y2=1

y=kx+2

⇒(1+4k2)x2+16kx+12=0．…（6分）
△=（16k）²-4（1+4k²）•12>0，得k2>(3)/(4)．
x1+x2=-(16k)/(1+4k2)…．①，x1x2=(12)/(1+4k2)…②．…（8分）
又由

AC

=(3)/(5)

AD

，得x1=(3)/(5)x2，
将它代入①，②得k²=1，k=±1（满足k2>(3)/(4)）．
所以直线l的斜率为k=±1．所以直线l的方程为y=±x+2…（12分）