在平面直角坐标系xOy中，A（2a，0），B（a，0），a为非零常数，动点P满足PA=2PB，记点P的轨迹曲线为C．（1）求曲线C的方程；（2）曲线C上不同两点Q（x1，y1），R（x2，y2）满足AR=λAQ，点S为R

Question

在平面直角坐标系xOy中，A（2a，0），B（a，0），a为非零常数，动点P满足PA=√(2)PB，记点P的轨迹曲线为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）曲线C上不同两点Q （x₁，y₁），R （x₂，y₂）满足

AR

=λ

AQ

，点S为R 关于x轴的对称点．
①试用λ表示x₁，x₂，并求λ的取值范围；
②当λ变化时，x轴上是否存在定点T，使S，T，Q三点共线，证明你的结论．

Answer 1

（1）设点P坐标为（x，y），由PA=2PB，得(x−2a)2+y2＝2×(x−a)2+y2，平方整理得x2+y2=2a2，所以曲线C的方程为x2+y2=2a2（2）①由AR=λAQ，得x2−λx1＝2a(1−λ)y2＝λy1，∵Q，R在曲线C上，∴x21+y21＝2a2x22+y22...