如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝45|PD|．（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（2）若直线y=ax-5与曲线C交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

Question

如图，设P是圆x²+y²=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝(4)/(5)|PD|．
（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
（2）若直线y=ax-5与曲线C交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

Answer 1

（1）设M的坐标为（x，y），P的坐标为（x_P，y_P），
∵P是圆x²+y²=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝(4)/(5)|PD|，
∴

xP＝x

yP＝(5)/(4)y.

∵P在圆上，∴x2+((5)/(4)y)2＝25，即C的方程为(x2)/(25)+(y2)/(16)＝1．…（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

16x2+25y2＝400

y＝ax−5

，得（16+25a²）x²-250ax+225=0，
∴x1+x2＝(250a)/(16+25a2)，x1x2＝(225)/(16+25a2)①…（8分）
由

OA

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作业帮用户 2016-12-01

问题解析

（1）设M的坐标为（x，y），P的坐标为（x_P，y_P），由已知得

xP＝x

yP＝(5)/(4)y.

由此能求出C的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

16x2+25y2＝400

y＝ax−5

，得（16+25a²）x²-250ax+225=0，由此利用韦达定理和根的判别式能求出a的值．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：

本题考查点的轨迹方程的求法，考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理和根的判别式的合理运用．

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