曲线C是平面内与两个定点F1（-1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2（a＞1）的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则VF1PF2

Question

曲线C是平面内与两个定点F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距离的积等于常数a²（a＞1）的点的轨迹，给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，
则V F1PF2的面积不大于(1)/(2)a²正确的个数是（　　）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0

Answer 1

对于①，由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及两点间的距离公式的得：[（x+1）²+y²]•[（x-1）²+y²]=a⁴，将原点代入验证，此方程不过原点，所以①错；
对于②，把方程中的x被-x代换，y被-y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称，故②正确；
对于③，由题意知点P在曲线C上，则△F₁PF₂的面积S_△F1PF2=(1)/(2)×2×y=y，由①知y²=-x²-1+√(4x2+a4)或y²=-x²-1-√(4x2+a4)（舍去），
令√(4x2+a4)=t，则x²=(t2−a4)/(4)
∴y²=-(t2−a4)/(4)-1+t=-(1)/(4)（t-2）²+(a4)/(4)≤(a4)/(4)，
∴S_△F1PF2²=y²≤(1)/(2)a²，故③正确
故选B．