已知直线l:y=x+b交曲线C:y=x的二次方(a>0)于P、Q两点,M为PQ中点,分别过P、Q两点作曲线C的切线,1)求点M的轨迹方程2)求点N的轨迹方程3)求证:MN中点必在曲线C上

Question

已知直线l:y= x+b交曲线C:y= x的二次方(a>0) 于P、Q 两点,M 为PQ中点,分别过P 、Q两点作曲线C的切线,
1) 求点M的轨迹方程
2) 求点N的轨迹方程
3)求证:MN中点必在曲线C 上

Answer 1

N应是两切线交点.
设P(x1,x1^2),Q(x2,x2^2).
y=x^2,y'=2x,故
切线PN的方程为：y-x1^2=2x1(x-x1),得y=x1(2x-x1),
切线QN的方程为：y-x2^2=2x2(x-x2),得y=x2(2x-x2),
联立得2x(x1-x2)=(x1+x2)(x1-x2)
因除了直线l: y= x+b与抛物线y=x^2相切（此时x^2-x-b=0,△=1+4b=0,得b=-1/4,x=1/2,y=1/4）,只要有两个交点的情况均有x1≠x2,故
当b>-1/4时,有x=(x1+x2)/2,则y=x1(2x-x1)=x1x2,也即N((x1+x2)/2,x1x2)
将y= x+b代入y=x^2得x^2-x-b=0,于是由韦达定理得
x1+x2=1
x1x2=-b
则M(x,y)满足
x=(x1+x2)/2=1/2
y=(x1^2+x2^2)/2=[(x1+x2)^2-2x1x2]/2=1/2+b.由于相切时b=-1/4,故要使有交点必须b≥-1/4,故y=1/2+b≥1/2-1/4=1/4
因此点M的轨迹方程为：x=1/2,y≥1/4
而N((x1+x2)/2,x1x2)即N(1/2,-b),故N点的轨迹方程为
x=1/2,y≤1/4
MN的中点为(1/2,(1/2+b-b)/2)也即(1/2,1/4),显然在曲线C上