已知外心G，内心I，且AB+AC=2BC，求证：GI⊥AI．

Question

已知外心G，内心I，且AB+AC=2BC，求证：GI⊥AI．

Answer 1

证明：如图所示，连接CI，CD，延长AI交△ABC的外接圆于点D，交BC于E，
∵I是△ABC的内心，
∴(AC)/(CE)=(AB)/(BE)=(AI)/(IE)，(AC+AB)/(BC)=(AB)/(BE)，
∵AB+AC=2BC，
∴AB=2BE，
∵∠ADC=∠ABC，∠BAD=∠CAD，
∴△ABE∽△ADC，
∴AD=2CD，
∵由内心的性质可知DC=DI，
∴AD=2DI，
∵G是△ABC的外心，
∴GI⊥AI．