已知圆K内切于三角形ABC的外接圆O于D且与AB,AC分别相切于P,Q,证明PQ中点I是三角形ABC的内心

Question

已知圆K内切于三角形ABC的外接圆O于D且与AB,AC分别相切于P,Q,证明PQ中点I是三角形ABC的内心

Answer 1

连个图都不给.
因圆k于相切AB,AC于P,Q,所以A,I,K一定是共线
AK与PQ垂直于I ,AI是角PAQ的平分线.只需证角PBI=1/2角ABC
过D作圆O,圆K的公切线DE于点D
角EDP=角BPD（1）角EDB=角BAD（2）
（1）,（2）作差得 角BDP=角PDA
可推出 角BDP=（角BDP+角PDA)*1/2=1/2角BDA=1/2角ACB
又因为PI为直角三角形KPA斜边AK上的高
SO KA*KI=KP^2=KD^2
所以三角形IKD相似于三角形DKA
角KDI=角KAD
又因为(如下均为角度）
KDB=90-BDE=90-PAD=90-(PAD-KAD)=90-PAK=APQ
所以B,D,I,P共圆
于是
PBI=PDI=BDI-BDP=APQ-1/2ACB=1/2(ABC+ACB-ACB)=1/2ABC
得证,完了.