早教吧作业答案频道 -->其他-->
近世代数证明题:设R是有单位元的交换环,I是R的理想,R/I是域,当且仅当I是R的最大理想
题目详情
近世代数证明题:设R是有单位元的交换环,I是R的理想,R/I是域,当且仅当I是R的最大理想
▼优质解答
答案和解析
令f是R到R/I的自然环同态,则kerf=I,根据环同态基本定理,所以R的包含I的理想和R/I的理想一一对应。
1)充分性:因为I是R的最大理想,所以R包含I的理想只有R和I本身,从而商环R/I的理想只有I和R/I本身,换句话说,R/I只有平凡理想。因为R是有单位元的交换环,所以R/I也是有单位元的交换环,根据下面的引理,R/I是域
引理:R是有单位元的交换环,R只有平凡理想,则R是域。
因为设I是非零元a生成的理想,I=(a),则(a)≠0,所以(a)=R,从而Ra=R,特别有ra=1,所以a有逆元r
即R中每个非零元都可逆,故R是域
2)必要性:反过来,域R/I只有平凡理想,根据同态基本定理,真包含I的R的理想只有R本身,这说明I是R的最大理想。
证毕!
1)充分性:因为I是R的最大理想,所以R包含I的理想只有R和I本身,从而商环R/I的理想只有I和R/I本身,换句话说,R/I只有平凡理想。因为R是有单位元的交换环,所以R/I也是有单位元的交换环,根据下面的引理,R/I是域
引理:R是有单位元的交换环,R只有平凡理想,则R是域。
因为设I是非零元a生成的理想,I=(a),则(a)≠0,所以(a)=R,从而Ra=R,特别有ra=1,所以a有逆元r
即R中每个非零元都可逆,故R是域
2)必要性:反过来,域R/I只有平凡理想,根据同态基本定理,真包含I的R的理想只有R本身,这说明I是R的最大理想。
证毕!
看了 近世代数证明题:设R是有单位...的网友还看了以下:
判断题 1.一个多位数的各位数字之和被9除余2则这个数被9除也余2.2.循环小数6.37(7上循环 2020-05-13 …
得出一个关于分数的重复和重复循环位数的结论.这意味着找出一个你可以在不除它的情况下确定分数的循环位 2020-05-23 …
将循环小数0.027(027循环)和0.179672(179672循环)相乘,取近似值,要求保留1 2020-06-14 …
纯循环小数和魂循环小数的最少位数怎么从分数中得知纯循环小数和魂循环小数的最少位数分别怎么从分数中得 2020-06-21 …
循环小数的准确含义我们知道:1÷3=0.33循环、2÷3=0.66循环,所以3÷3=0.99循环. 2020-06-27 …
将循环小数0..02.7与0..17967.2相乘,取近似值,要求保留一百位小数.那么,该近似值的 2020-06-27 …
如果一个四位数的千位数字与十位数学相同,百位数字与个位数字相同,则称这个四位数为“循环四位数”,如 2020-07-29 …
1.493取个位数近似数 2020-07-29 …
用2、3、5、7、8这五个数字组成五位数.近似数是3万的数你能组成几个? 2020-07-31 …
人造地球卫星环绕地球运行的速度约为7.9×103米/秒,近似数7.9×103保留有效数字的位数是() 2021-02-02 …