近世代数证明题:设R是有单位元的交换环，I是R的理想，R/I是域，当且仅当I是R的最大理想

Question

近世代数证明题:设R是有单位元的交换环，I是R的理想，R/I是域，当且仅当I是R的最大理想

Answer 1

令f是R到R/I的自然环同态，则kerf=I，根据环同态基本定理，所以R的包含I的理想和R/I的理想一一对应。
1）充分性：因为I是R的最大理想，所以R包含I的理想只有R和I本身，从而商环R/I的理想只有I和R/I本身，换句话说，R/I只有平凡理想。因为R是有单位元的交换环，所以R/I也是有单位元的交换环，根据下面的引理，R/I是域
引理：R是有单位元的交换环，R只有平凡理想，则R是域。
因为设I是非零元a生成的理想,I=(a),则(a)≠0，所以(a)=R,从而Ra=R,特别有ra=1,所以a有逆元r
即R中每个非零元都可逆，故R是域
2）必要性：反过来，域R/I只有平凡理想，根据同态基本定理，真包含I的R的理想只有R本身，这说明I是R的最大理想。
证毕！