早教吧作业答案频道 -->其他-->
近世代数证明题:设R是有单位元的交换环,I是R的理想,R/I是域,当且仅当I是R的最大理想
题目详情
近世代数证明题:设R是有单位元的交换环,I是R的理想,R/I是域,当且仅当I是R的最大理想
▼优质解答
答案和解析
令f是R到R/I的自然环同态,则kerf=I,根据环同态基本定理,所以R的包含I的理想和R/I的理想一一对应。
1)充分性:因为I是R的最大理想,所以R包含I的理想只有R和I本身,从而商环R/I的理想只有I和R/I本身,换句话说,R/I只有平凡理想。因为R是有单位元的交换环,所以R/I也是有单位元的交换环,根据下面的引理,R/I是域
引理:R是有单位元的交换环,R只有平凡理想,则R是域。
因为设I是非零元a生成的理想,I=(a),则(a)≠0,所以(a)=R,从而Ra=R,特别有ra=1,所以a有逆元r
即R中每个非零元都可逆,故R是域
2)必要性:反过来,域R/I只有平凡理想,根据同态基本定理,真包含I的R的理想只有R本身,这说明I是R的最大理想。
证毕!
1)充分性:因为I是R的最大理想,所以R包含I的理想只有R和I本身,从而商环R/I的理想只有I和R/I本身,换句话说,R/I只有平凡理想。因为R是有单位元的交换环,所以R/I也是有单位元的交换环,根据下面的引理,R/I是域
引理:R是有单位元的交换环,R只有平凡理想,则R是域。
因为设I是非零元a生成的理想,I=(a),则(a)≠0,所以(a)=R,从而Ra=R,特别有ra=1,所以a有逆元r
即R中每个非零元都可逆,故R是域
2)必要性:反过来,域R/I只有平凡理想,根据同态基本定理,真包含I的R的理想只有R本身,这说明I是R的最大理想。
证毕!
看了 近世代数证明题:设R是有单位...的网友还看了以下:
苯环上原有的取代基对再进入苯环的第二个取代基的位置有一定的影响,例如若苯环上已有—OH、—CH3( 2020-05-02 …
物质A是从茶叶中提取出的芳香族化合物,A分子中苯环上有2个取代基,取代基不含支链,且处于苯环的对位 2020-05-02 …
当回热循环的单位容积制冷量( )无回热循环的单位容积制冷量时,采用回热才有效。A.大于B.等于C.小 2020-06-07 …
大学物理中的元位移是什么? 2020-07-18 …
系统命名靛蓝C16H10N202其中有两个苯环,每个苯环的邻位分别接一个碳一个氮,两个NH键,两个 2020-07-18 …
物质A是从茶叶中提取出的芳香族化合物,A分子中苯环上有2个取代基,均不含支链且处于苯环的对位,遇F 2020-07-20 …
C5H9Cl含4元碳环的位置异构有多少种原题是个推理题,但是我推知B为C5H9Cl,是环戊烷的一个H 2020-10-31 …
奇怪?类比于正弦振荡电路的分析方法,分析单摆见了怪类比于正弦振荡电路的分析方法,阻尼为0时,单摆的开 2020-11-29 …
大学力学在极坐标系中,关于径向速度和横向速度的那一节中,为什么速度的径向投影V1=lim(△r/△t 2020-12-05 …
促进血液循环的穴位 2021-04-02 …