设A是N阶实方阵(1)当N为奇数且AA^T=I及|A|=1时,证明|I-A|=0(零）(2)当M为给定任意正整数且(A=I)^M=O时,证明:A可逆多谢各位解答,因为本人对证明题都不太懂....希望各位仁兄指教

Question

设A是N阶实方阵
(1)当N为奇数且AA^T=I及|A|=1时,证明|I-A|=0(零）
(2)当M为给定任意正整数且(A=I)^M=O时,证明:A可逆
多谢各位解答,因为本人对证明题都不太懂....希望各位仁兄指教

Answer 1

1是因为 A的特征值为特征多项式的根 A正交所以所有特征值模为1 A的特征多项式是奇数次的实系数多项式，所以有奇数个特征根 由虚根成对原理 每个虚根与它的共轭同时出现 所以有偶数个虚根 他们的积为1，又因为所有根的积为1 所以实根的积为1，且有奇数个实根，因为模为一的实数只有+-1，因为乘积是1 所以有偶数个-1，所以有奇数个1，所以A含有特征值1，所以|I-A|=0。
2 (A=I)^M=O 写错了吧 (A-I)^M=O吧 直接展开 (I-A)^M=O 常数项是I 所以
有A*F(A)+I=0 F是一个A的多项式 所以 A*(-F(A))=I所以A可逆。