1.若复数z满足:|z|=1+3i+z,则:[(1+i)^3(3i-4)]/2z=2.若|z-2-3i|=5,且z/(1+i)属于R,求z的共轭复数.3.设|z|=1,且z≠±i,求证:z/(1+z^2)∈R.

Question

1.若复数z满足:|z|=1+3i+z,则:[(1+i)^3(3i-4)]/2z=_____
2.若|z-2-3i|=5,且z/(1+i)属于R,求z的共轭复数.
3.设|z|=1,且z≠±i,求证:z/(1+z^2)∈R.

Answer 1

1.|z|=1+3i+z,首先,|z|是个实数所以z的虚部一定是-3
那么设z=x-3i得到:根号(x^2+9)=1+x
由这个方程解得:x=4,即z=4-3i
那么[(1+i)^3(3i-4)]/2z的计算就很简单了这个过程就不细写,直接给你结果:1-i
2.|z-2-3i|=5说明如果给出一个复平面,那么z在以(2,3)为圆心,5为半径的圆周上.
z/(1+i)=z(1+i)/(1+i)^2=z(1+i)/(2i)是个实数
那么设z=x+yi,则有[x-y+(x+y)i]/(2i)是实数
所以x-y=0,那么只要找圆周上x=y的点就可以了,
找到两点为(6,6)和(-1,-1)
所以z=6+6i或者z=-1-i
那么它的共轭复数很容易知道了吧?
3.设z=x+yi,其中x=cosa≠0,y=sina(用替换三角函数)
下面开始计算得到:
(cosa+sina*i)/(1+cosa*cosa-sina*sina+2sina*cosa*i)=(cosa+sina*i)/(2cosa*cosa+2sina*cosa*i)=1/(2cosa)