已知椭圆C1:已知椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的长轴为根号2,离心率为根号2/2;椭圆C2:x^2/m^2-y^2/n^2=1(m>0,n>0)的虚轴长是实轴长的2倍,且离心率为2根号5.（1）求椭圆C1和双曲线C2的方程,（2）设过点（0,

Question

已知椭圆C1:已知椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的长轴为根号2,离心率为根号2/2;
椭圆C2:x^2/m^2-y^2/n^2=1(m>0,n>0)的虚轴长是实轴长的2倍,且离心率为2根号5.
（1）求椭圆C1和双曲线C2的方程,
（2）设过点（0,2）的直线L与椭圆C1相切,求直线L的方程.

Answer 1

(1)2a=根号2,所以,a=根号2/2,a^=1/2
e=根号2/2,即c/a=根号2/2,所以c=1/2
因为b^2=a^2-c^2,所以b^2=1/2
C1:x^2/2+y^2/2=1
虚轴长是实轴长的2倍,2n=4m,n=2m,n^2=4m^2
且离心率为2根号5.e=√[1+b²/a²]离心率等于虚半轴的长b与实半轴的长a的比的平方加1的算术平方根
又因为,e=c/a=2根号5,c=2根号5a
所以,根号下1+4m^2/m^2=2根号5a
解得m^2=1/4,n^2=1
C2:x^2/4-y^2=1
(2)设直线方程为y=kx+b
因为过(0,2),所以y=kx+2
带入椭圆方程,得x^2+(kx+2)^2=1
整理得(k^2+1)x^2+4kx+2=0
因为相切
所以,△=0,即16k^2-4(k^2+1)2=0
8k^2=8
k=正负1
y=x+2或y=-x+2