已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为12，且椭圆C与圆M：x2+（y-3）2=4的公共弦长为4（1）求椭圆C的方程；（2）已知O为坐标原点，过椭圆C的右顶点A作直线l与圆x2+y2=85相切并交椭圆C于

Question

已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a>b>0）的离心率为(1)/(2)，且椭圆C与圆M：x²+（y-3）²=4的公共弦长为4
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知O为坐标原点，过椭圆C的右顶点A作直线l与圆x²+y²=(8)/(5)相切并交椭圆C于另一点，求

OA

•

OB

的值．

Answer 1

（1）由题意可得e=(c)/(a)=(1)/(2)，a²-b²=c²，
椭圆C与圆M：x²+（y-3）²=4的公共弦长为4，
可得椭圆经过点（±2，3），
即有(4)/(a2)+(9)/(b2)=1，
解得a=4，b=2√(3)，
即有椭圆的方程为(x2)/(16)+(y2)/(12)=1；
（2）设过右顶点A（4，0）的直线l为y=k（x-4），
由直线与圆x²+y²=(8)/(5)相切，可得(|4k|)/(√(1+k2))=√((8)/(5))，
解得k=±(1)/(3)，
将直线y=±(1)/(3)（x-4），代入椭圆(x2)/(16)+(y2)/(12)=1，消去y，可得
31x²-32x-368=0，
设B（x₀，y₀），可得4x₀=-(368)/(31)，
则

OA

•

OB

=（4，0）•（x₀，y₀）=4x₀=-(368)/(31)．