已知椭圆C：的离心率为，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，若椭圆C的焦距为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设M为椭圆上任意一点，以M为圆心，MF1为半径作圆M，当圆M与椭圆的右准

Question

已知椭圆C： 的离心率为 ，F ₁ 、F ₂ 分别为椭圆C的左、右焦点，若椭圆C的焦距为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M为椭圆上任意一点，以M为圆心，MF ₁ 为半径作圆M，当圆M与椭圆的右准线l有公共点时，求△MF ₁ F ₂ 面积的最大值．

Answer 1

已知椭圆C： 的离心率为 ，F ₁ 、F ₂ 分别为椭圆C的左、右焦点，若椭圆C的焦距为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M为椭圆上任意一点，以M为圆心，MF ₁ 为半径作圆M，当圆M与椭圆的右准线l有公共点时，求△MF ₁ F ₂ 面积的最大值．

（1）因为2c=2，且 ，
所以c=1，a=2．
所以b ² =3．
所以椭圆C的方程为 ．
（2）设点M的坐标为（x ₀ ，y ₀ ），则 ．
因为F ₁ （﹣1，0）， ，
所以直线l的方程为x=4．
由于圆M与l有公共点，所以M到l的距离4﹣x ₀ 小于或等于圆的半径R．
因为R ² =MF ₁ ² =（x ₀ +1） ² +y ₀ 2，
所以（4﹣x ₀ ） ² ≤（x ₀ +1） ² +y ₀ ² ，即y ₀ ² +10x ₀ ﹣15≥0．
又因为 ，所以 ．
解得 ．
又 ，
∴
当 时， ，
所以， ．