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给定椭圆C：，称圆心在原点O、半径为的圆是椭圆C的“伴椭圆”，若椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到距离为；（1）、求椭圆C的方程及其“伴椭圆”的方程；（2）、若
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| 给定椭圆C：  ，称圆心在原点O、半径为 的圆是椭圆C的“伴椭圆” ，若椭圆C的一个焦点为 ,其短轴上的一个端点到 距离为 ；（1）、求椭圆C的方程及其“伴椭圆”的方程； （2）、若倾斜角为  的直线与椭圆C只有一个公共点，且与椭圆C的“伴椭圆”相交于M、N两点，求弦MN的长。（3）、若点P是椭圆C“伴椭圆”上一动点，过点P作直线  ，使得 与椭圆C都只有一个公共点，求证： 。 |
▼优质解答
答案和解析
| （1）因为
 ，所以 ……………………………………………2分所以椭圆的方程为  ，伴随圆的方程为 .………………4分（2）设直线  的方程 ，由 得 由  得 …………………………6分圆心到直线 的距离为 ，所以 ………………………………8分（3）①、当  中有一条无斜率时，不妨设 无斜率，因为 与椭圆只有一个公共点，则其方程为 或 ，当 方程为 时，此时 与伴随圆交于点 此时经过点  （或 且与椭圆只有一个公共点的直线是 (或 ，即  为 (或 ，显然直线 垂直；同理可证 方程为 时，直线 垂直.…………………………10分②、当 都有斜率时，设点 其中 ，设经过点 与椭圆只有一个公共点的直线为 ，由  ，消去 得到 ，即  ，……………………12分 ，经过
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