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给定椭圆C:,称圆心在原点O、半径为的圆是椭圆C的“伴椭圆”,若椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到距离为;(1)、求椭圆C的方程及其“伴椭圆”的方程;(2)、若

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给定椭圆C: ,称圆心在原点O、半径为 的圆是椭圆C的“伴椭圆” ,若椭圆C的一个焦点为 ,其短轴上的一个端点到 距离为
(1)、求椭圆C的方程及其“伴椭圆”的方程;
(2)、若倾斜角为 的直线与椭圆C只有一个公共点,且与椭圆C的“伴椭圆”相交于M、N两点,求弦MN的长。
(3)、若点P是椭圆C“伴椭圆”上一动点,过点P作直线 ,使得 与椭圆C都只有一个公共点,求证:
▼优质解答
答案和解析
(1)因为 ,所以 ……………………………………………2分
所以椭圆的方程为 ,伴随圆的方程为 .………………4分
(2)设直线 的方程 ,由  
…………………………6分
圆心到直线 的距离为  ,所以 ………………………………8分
(3)①、当 中有一条无斜率时,不妨设 无斜率,
因为 与椭圆只有一个公共点,则其方程为
方程为 时,此时 与伴随圆交于点
此时经过点 (或 且与椭圆只有一个公共点的直线是 (或
(或 ,显然直线 垂直;
同理可证 方程为 时,直线 垂直.…………………………10分
②、当 都有斜率时,设点 其中
设经过点 与椭圆只有一个公共点的直线为
,消去 得到
,……………………12分

经过
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