已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），直线l：y=kx+m（k≠0，m≠0），直线l交椭圆C与P，Q两点．（Ⅰ）若k=1，椭圆C经过点（2，1），直线l经过椭圆C的焦点和顶点，求椭圆方程；（Ⅱ）若k=12，b=1，

Question

已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0），直线l：y=kx+m（k≠0，m≠0），直线l交椭圆C与P，Q两点．
（Ⅰ）若k=1，椭圆C经过点（√(2)，1），直线l经过椭圆C的焦点和顶点，求椭圆方程；
（Ⅱ）若k=(1)/(2)，b=1，且k_OP，k，k_OQ成等比数列，求三角形OPQ面积S的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0），直线l：y=kx+m（k≠0，m≠0），
k=1，椭圆C经过点（√(2)，1），直线l经过椭圆C的焦点和顶点，
∴

(2)/(a2)+(1)/(b2)＝1

b＝c

a2＝b2+c2

，解得a²=4，b²=2，
∴椭圆方程为(x2)/(4)+(y2)/(2)＝1．
（Ⅱ）设PQ直线方程为y=(x)/(2)+m，椭圆方程为C：(x2)/(a2)+y2＝1，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），k_OP，k，k_OQ成等比数列，
则(y1)/(x1)•(y2)/(x2)＝k2，
化简，得x₁+x₂=-2m，
将y=(x)/(2)+m代入

作业帮用户 2016-12-03 举报

问题解析

（Ⅰ）由已知条件得

(2)/(a2)+(1)/(b2)＝1

b＝c

a2＝b2+c2

，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设PQ直线方程为y=(x)/(2)+m，椭圆方程为C：(x2)/(a2)+y2＝1，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），k_OP，k，k_OQ成等比数列，则(y1)/(x1)•(y2)/(x2)＝k2，由此能求出三角形OPQ面积S的取值范围．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：

本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．

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