设i为虚数单位，n为正整数，θ∈[0，2π）．（1）用数学归纳法证明：（cosθ+isinθ）n=cosnθ+isinnθ；（2）已知z=3-i，试利用（1）的结论计算z10．

Question

设i为虚数单位，n为正整数，θ∈[0，2π）．
（1）用数学归纳法证明：（cosθ+isinθ）ⁿ=cosnθ+isinnθ；
（2）已知z=√(3)-i，试利用（1）的结论计算z¹⁰．

Answer 1

证明：（1）证明：1°当n=1时，左边=右边=cosθ+isinθ，所以命题成立；
2°假设当n=k时，命题成立，即（cosθ+isinθ）^k=coskθ+isinkθ，
则当n=k+1时，（cosx+isinθ）^k+1=（cosθ+isinθ）^k•（cosθ+isinθ）
=（coskθ+isinkθ）（cosθ+isinθ）
=（coskθcosθ-sinkθsinθ）+i（sinkθcosθ+coskθsinθ）
=cos（k+1）θ+isin（k+1）θ
∴当n=k+1时，命题成立；
综上，由1°和2°可得，（cosθ+isinθ）ⁿ=cosnθ+isinnθ．
（2）z=√(3)-i=2（(√(3))/(2)-(1)/(2)i）=2（cos(11π)/(6)+isin(11π)/(6)），
∴z¹⁰=2¹⁰（cos(110)/(6)π+isin(110)/(6)π）=2¹⁰（cos(π)/(3)+isin(π)/(3)）=2¹⁰（(1)/(2)+(√(3))/(2)i）=512+512√(3)i