用柯西积分公式求解∮c(z+1)/((z-1)²(z+2))dz,c:|z|=4,要详细过程,貌似答案是-3πi/28.求

Question

用柯西积分公式求解∮c(z+1)/((z-1)²(z+2))dz,c:|z|=4,要详细过程,貌似答案是-3πi/28.求

Answer 1

先分解
z+1 A B C
----------------- = ------ + ---------- + ---------
(z-1)^2*(z+2) z-1 (z-1)^2 z+2
z+1=A(z-1)(z+2)+B(z+2)+C(z-1)^2
代入z=1
2=3B, B=2/3
代入z=-2
-1=9C, C=-1/9
代入z=0
1=-2A+2B+C
A=(2B+C-1)/2=1/9
原积分=
(1/9)∮c[1/(z-1)]dz+(2/3)∮c[1/(z-1)^2]dz-(1/9)∮c[1/(z+2)]dz
=(1/9)*2pi*i*1+(2/3)*2pi*i/1! *1-(1/9)*2pi*i*1
=(4pi/3)i