设z=a+bi，a，b∈R，b≠0．，且ω=z+1z是实数，且-1<ω<2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设u=1-z1+z，求证：u为纯虚数．

Question

设z=a+bi，a，b∈R，b≠0．，且ω=z+(1)/(z)是实数，且-1<ω<2．
（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；
（2）设u=(1-z)/(1+z)，求证：u为纯虚数．

Answer 1

（1）∵z=a+bi，a，b∈R，b≠0．
∴ω=a+bi+(1)/(a+bi)=(a+(a)/(a2+b2))+(b-(b)/(a2+b2))i，
∵ω是实数，b≠0，∴a²+b²=1即|z|=1，
∵ω=2a，-1<ω<2∴z的实部的取值范围是(-(1)/(2)，1)；…（5分）
（2）证明：u=(1-z)/(1+z)=(1-a-bi)/(1+a+bi)=((1-a-bi)(1+a-bi))/((1+a+bi)(1+a-bi))=(1-a2-b2-2bi)/((1+a)2+b2)=-(b)/(a+1)i，
∵a∈(-(1)/(2)，1)，b≠0，∴u为纯虚数．…（10分）