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已知三条直线l1:mx-y+m=0,l2:x+my-m(m+1)=0,l3:(m+1)x-y+(m+1)=0,它们围成△ABC.(Ⅰ)求证:不论m取何值时,△ABC中总有一个顶点为定点;(Ⅱ)当m取何值时,△ABC的面积取最大值、
题目详情
已知三条直线l1:mx-y+m=0,l2:x+my-m(m+1)=0,l3:(m+1)x-y+(m+1)=0,它们围成△ABC.
(Ⅰ)求证:不论m取何值时,△ABC中总有一个顶点为定点;
(Ⅱ)当m取何值时,△ABC的面积取最大值、最小值?并求出最值.
(Ⅰ)求证:不论m取何值时,△ABC中总有一个顶点为定点;
(Ⅱ)当m取何值时,△ABC的面积取最大值、最小值?并求出最值.
▼优质解答
答案和解析
(1)根据题意得 l1,l3交于A(-1,0)l2,l3交于B(0,m+1)
∴不论m取何值时,△ABC中总有一个顶点为定点(-1,0)
(2)从条件中可以看出l1、l2垂直
∴角C为直角,
∴S=
|AC|•|BC|
|BC|等于点(0,m+1)到l1的距离d=
=
|AC|等于(-1,0)到l2的距离d=
S=
×
=
[1+
]
当m>0时,
有最大值
同理,当m<0时,
有最小-
所以m=1时S取最大值为
m=-1时S取最小值
∴不论m取何值时,△ABC中总有一个顶点为定点(-1,0)
(2)从条件中可以看出l1、l2垂直
∴角C为直角,
∴S=
1 |
2 |
|BC|等于点(0,m+1)到l1的距离d=
|-m-1+m| | ||
|
1 | ||
|
|AC|等于(-1,0)到l2的距离d=
m2+m+1 | ||
|
S=
1 |
2 |
m2+m+1 |
m2+1 |
1 |
2 |
1 | ||
m+
|
当m>0时,
1 | ||
m+
|
1 |
2 |
同理,当m<0时,
1 | ||
m+
|
1 |
2 |
所以m=1时S取最大值为
3 |
4 |
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4 |
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