已知三条直线l1：mx-y+m=0，l2：x+my-m（m+1）=0，l3：（m+1）x-y+（m+1）=0，它们围成△ABC．（Ⅰ）求证：不论m取何值时，△ABC中总有一个顶点为定点；（Ⅱ）当m取何值时，△ABC的面积取最大值、

Question

已知三条直线l₁：mx-y+m=0，l₂：x+my-m（m+1）=0，l₃：（m+1）x-y+（m+1）=0，它们围成△ABC．
（Ⅰ）求证：不论m取何值时，△ABC中总有一个顶点为定点；
（Ⅱ）当m取何值时，△ABC的面积取最大值、最小值？并求出最值．

Answer 1

（1）根据题意得 l₁，l₃交于A（-1，0）l₂，l₃交于B（0，m+1）
∴不论m取何值时，△ABC中总有一个顶点为定点（-1，0）
（2）从条件中可以看出l₁、l₂垂直
∴角C为直角，
∴S=(1)/(2)|AC|•|BC|
|BC|等于点（0，m+1）到l₁的距离d=(|-m-1+m|)/(√(m2+1))=(1)/(√(m2+1))
|AC|等于（-1，0）到l₂的距离d=(m2+m+1)/(√(m2+ 1))
S=(1)/(2)×(m2+m+1)/(m2+1)=(1)/(2)[1+(1)/(m+(1)/(m))]
当m>0时，(1)/(m+(1)/(m))有最大值(1)/(2)
同理，当m<0时，(1)/(m+(1)/(m))有最小-(1)/(2)
所以m=1时S取最大值为(3)/(4)m=-1时S取最小值(1)/(4)