导数相关的题.1.当K取何值时,分段函数：x不等于0时,f(x)=x的k次方乘以sin(1/x),x等于0时,f(x)=0,.（K>0）在x=0可导?2.为什么y=x^3的绝对值在x=0处不可导?可以用导数定义证明一下吗?3.ln(x+根号下1+x^2)

Question

导数相关的题.
1.当K取何值时,分段函数：x不等于0时,f(x)=x的k次方乘以sin(1/x),x等于0时,f(x)=0,.（K>0）在x=0可导?
2.为什么y=x^3的绝对值在x=0处不可导?可以用导数定义证明一下吗?
3.ln(x+根号下1+x^2) 的导数是什么?1/根号下1+x^2.这个求导有什么技巧吗,利用复合函数求导,我始终解不出参考答案来.

Answer 1

1. 利用导数的定义
f'(0)=lim [f(x)-f(0)]/x=lim x^ksin(1/x)/x=lim x^(k-1)sin(1/x)
因为lim sin(1/x)不存在,但是sin(1/x)有界,所以必须乘上个无穷小才能有极限,因此要求x^(k-1)→0,即k-1>0,从而当k>1时函数在x=0点可导.极限过程为x→0
2. 考虑lim [y(x)-y(0)]/x=lim |x³|/x
当x→0+时,lim |x³|/x=limx²=0
当x→0-时,lim |x³|/x=lim -x²=0
因为左右极限存在且相等,所以当x→0时,lim [y(x)-y(0)]/x存在,从而函数y=|x³|在x=0点可导!
可能你题目抄错了!
3.令t=x+(1+x²)^(1/2)
则 y=lnt,
dy/dx=(dy/dt)*(dt/dx)
=(1/t)*{1+x/[(1+x²)^(1/2)]}
={1/[x+(1+x²)^(1/2)]}*{1+x/[(1+x²)^(1/2)]}
={1/[x+(1+x²)^(1/2)]}*{x+[(1+x²)]^(1/2)}÷[(1+x²)]^(1/2)
=1/{[(1+x²)]^(1/2)}
主要要理解复合函数的求导方法!由外及里,一层一层求导,不能漏掉某一项!