张强同学设计了如下问题:定义:把形如a+b√m,a-b√m(a,b为有理数且b≠0,m为正整数且开方开不尽)的两个实数称为共同轭实数.1)请你举出一对共轭实数;2)3√2与2√3的共轭实数吗?-2√3与2√3是共轭

Question

张强同学设计了如下问题:定义:把形如a+b√m,a-b√m(a,b为有理数且b≠0,m为正整数且开
方开不尽)的两个实数称为共同轭实数.1)请你举出一对共轭实数;2)3√2与2√3的共轭实数吗?-2√3与2√3是共轭实数吗?3)共轭实数a+b√m,a-b√m是有理数还是无理数?4)你发现共轭实数a+b√m与a-b√m的和,差有什么规律?

Answer 1

(1)请你举出一对共轭实数；
1+3根号2与1-3根号2
2)3根号2与2根号3是共轭实数吗?-2根号3与2根号3是共轭实数吗?
首先,我们研究a+b根号m与a-b根号m,可以发现,这两个数相加根号会互相消去,结果中没有根号.
而在3根号2与2根号3中,因为3根号2与2根号3相加的结果中不能把根号2与根号3消去,即结果中仍然有根号,
所以3根号2与2根号3不是共轭实数.
因为-2根号3与2根号3相加结果为0,结果中没有根号,
所以-2根号3与2根号3是共轭实数.
(3)共轭实数a+b根号m,a-b根号m是有理数还是无理数?
因为m为正整数且开方开不尽,所以根号m是无理数,又因为b不等于0,所以b根号m为无理数,-b根号m是无理数；又因为a是有理数,所以a+b根号m,a-b根号m是无理数.
(4)你发现共轭实数a+b根号m与a-b根号m的和、差有什么规律?
a+b根号m+（a-b根号m）
=2a
可以发现共轭实数a+b根号m与a-b根号m的和为一个有理数,为2a.
a+b根号m-(a-b根号m)
=2b根号m
可以发现共轭实数a+b根号m与a-b根号m的差为一个无理数,为2b根号m.