已知多项式f(x)除以x+2所得余数为1；除以x+3所得余数为-1,则多项式f(x)除以(x+2)(x+3)所得余式为(A)2x-5(B)2x+5(C)x-1(D)x+1(E)2x-1请对各题给出详细解题步骤说明.

Question

已知多项式f(x)除以x+2所得余数为1；除以x+3所得余数为-1,则多项式f(x)除以(x+2)(x+3)所得余式为
(A)2x-5
(B)2x+5
(C)x-1
(D)x+1
(E)2x-1
请对各题给出详细解题步骤说明.

Answer 1

选B
由第一个条件可知,f(x)=A(x+2)+1=(A-1)(x+2)+(x+3)
由第二个条件可知,f(x)=B(x+3)-1=(B-1)(x+3)+(x+2)
（其中A、B都是关于x的整式）
则(A-1)(x+2)+(x+3)=(B-1)(x+3)+(x+2)
变形得(A-2)(x+2)=(B-2)(x+3)
可知整式A-2中含有因式x+3,B-2中含有因式x+2
那么f(x)=(A-1)(x+2)+(x+3)=(A-2)(x+2)+(2x+5)
由于A-2中含有因式x+3,那么(A-2)(x+2)能被(x+2)(x+3)整除,
所以余式为2x＋5