观察下列式子的因式分解做法：①x2-1=(x-1)(x+1).②x3-1=x3-x+x-1=x（x2-1）+x-1=x（x-1）（x+1）+（x-1）=（x-1）[x（x+1）+1]=（x-1）（x2+x+1）③x4-1=x4-x+x-1=x（x3-1）+x-1=x（x-1）（x2+x+1）+（x-1）=（x-1）[x（x

Question

观察下列式子的因式分解做法：
①x2-1=

(x-1)(x+1)

.

②x³-1
=x³-x+x-1
=x（x²-1）+x-1
=x（x-1）（x+1）+（x-1）
=（x-1）[x（x+1）+1]
=（x-1）（x²+x+1）
③x⁴-1
=x⁴-x+x-1
=x（x³-1）+x-1
=x（x-1）（x²+x+1）+（x-1）
=（x-1）[x（x²+x+1）+1]
=（x-1）（x³+x²+x+1）
…
（1）模仿以上做法，尝试对x⁵-1进行因式分解；
（2）观察以上结果，猜想xⁿ-1=___；（n为正整数，直接写结果，不用验证）
（3）根据以上结论，试求4⁵+4⁴+4³+4²+4+1的值．

Answer 1

（1）x⁵-1
=x⁵-x+x-1
=x（x⁴-1）+x-1
=x（x-1）（x³+x²+x+1）+（x-1）
=（x-1）[x（x³+x²+x+1）+1]
=（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）；
（2）xⁿ-1=（x-1）（x^n-1+x^n-2+…+x²+x+1）；
（3）4⁵+4⁴+4³+4²+4+1
=（4-1）（4⁵+4⁴+4³+4²+4+1）×(1)/(3)
=（4⁶-1）×(1)/(3)
=(46-1)/(3)．