如图①，△ABC中，∠ABC=45°，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH=CH，连结BD．（1）求证：BD=AC；（2）将△BHD绕点H旋转，得到△EHF（点B，D分别与点E，F对应），连接AE．①如图②，当点F落在AC上时，

Question

如图①，△ABC中，∠ABC=45°，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH=CH，连结BD．

（1）求证：BD=AC；
（2）将△BHD绕点H旋转，得到△EHF（点B，D分别与点E，F对应），连接AE．
①如图②，当点F落在AC上时，（F不与C重合），若BC=4，tanC=3，求AE的长；
②如图③，当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线CF与AE相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由．

Answer 1

（1）在Rt△AHB中，∠ABC=45°，
∴AH=BH，
在△BHD和△AHC中，

AH=BH

∠BHD=∠AHC=90°

DH=CH

，
∴△BHD≌△AHC，
∴BD=AC，
（2）①如图，

在Rt△AHC中，
∵tanC=3，
∴(AH)/(CH)=3，
设CH=x，
∴BH=AH=3x，
∵BC=4，
∴3x+x=4，
∴x=1，
∴AH=3，CH=1，
由旋转知，∠EHF=∠BHD=∠AHC=90°，EH=AH=3，CH=DH=FH，
∴∠EHA=∠FHC，(EH)/(AH)=(FH)/(HC)=1，
∴△EHA∽△FHC，
∴∠EAH=∠C，
∴tan∠EAH=tanC=3，
过点H作HP⊥AE，
∴HP=3AP，AE=2AP，
在Rt△AHP中，AP²+HP²=AH²，
∴AP²+（3AP）²=9，
∴AP=(3√(10))/(10)，
∴AE=(3√(10))/(5)；
②如图③，

由①有，△AEH和△FHC都为等腰三角形，
∴∠GAH=∠HCG=30°，
∴CG⊥AE，
∴点C，H，G，A四点共圆，
∴∠CGH=∠CAH，
设CG与AH交于点Q，
∵∠AQC=∠GQE，
∴△AQC∽△GQH，
∴(EF)/(HG)=(AC)/(GH)=(AQ)/(GQ)=(1)/(sin30°)=2．