如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1，其左右焦点为F1（-1，0）及F2（1，0），过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点，且|AF1|、|F1F2|、|AF2|构成等

Question

如图，已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1，其左右焦点为F₁（-1，0）及F₂（1，0），过点F₁的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点，且|AF₁|、|F₁F₂|、|AF₂|构成等差数列．
（1）求椭圆C的方程；
（2）记△GF₁D的面积为S₁，△OED（O为原点）的面积为S₂．试问：是否存在直线AB，使得S₁=S₂？说明理由．

Answer 1

（1）因为|AF₁|、|F₁F₂|、|AF₂|构成等差数列，
所以2a=|AF₁|+|AF₂|=2|F₁F₂|=4，所以a=2．…（2分）
又因为c=1，所以b²=3，…（3分）
所以椭圆C的方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1．      …（4分）
（2）假设存在直线AB，使得 S₁=S₂，显然直线AB不能与x，y轴垂直．
设AB方程为y=k（x+1）…（5分）
将其代入(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1，整理得 （4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0…（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以 x1+x2＝(−8k2)/(4k2+3)．
故点G的横坐标为(x1+x2)/(2)＝(−4k2)/(4k2+3)．所以G（(−4k2)/(4k2+3)，(3k)/(4k2+3)）．…（8分）
因为 DG⊥AB，所以((3k)/(4k2+3))/((−4k2)/(4k2+3)−xD)×k=-1，解得x_D=(−k2)/(4k2+3)，
即D（(−k2)/(4k2+3)，0）…（10分）
∵Rt△GDF₁和∵Rt△ODE₁相似，∴若S₁=S₂，则|GD|=|OD|…（11分）
所以 √(((−k2)/(4k2+3)−(−4k2)/(4k2+3))2+((3k)/(4k2+3))2)＝|(−k2)/(4k2+3)|，…（12分）
整理得 8k²+9=0． …（13分）
因为此方程无解，所以不存在直线AB，使得 S₁=S₂．…（14分）