如图，已知矩形OABC中，OA=3，AB=4，双曲线y=kx（k>0）与矩形两边AB、BC分别交于D、E，且BD=2AD（1）求k的值和点E的坐标；（2）点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE=90°？若存在，

Question

如图，已知矩形OABC中，OA=3，AB=4，双曲线y=(k)/(x)（k>0）与矩形两边AB、BC分别交于D、E，且BD=2AD

（1）求k的值和点E的坐标；
（2）点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE=90°？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵AB=4，BD=2AD，
∴AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4，
∴AD=(4)/(3)，
又∵OA=3，
∴D（(4)/(3)，3），
∵点D在双曲线y=(k)/(x)上，
∴k=(4)/(3)×3=4；
∵四边形OABC为矩形，
∴AB=OC=4，
∴点E的横坐标为4．
把x=4代入y=(4)/(x)中，得y=1，
∴E（4，1）；
（2）假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP=m，CP=4-m．
∵∠APE=90°，
∴∠APO+∠EPC=90°，
又∵∠APO+∠OAP=90°，
∴∠EPC=∠OAP，
又∵∠AOP=∠PCE=90°，
∴△AOP∽△PCE，
∴(OA)/(PC)=(OP)/(CE)，
∴(3)/(4-m)=(m)/(1)，
解得：m=1或m=3，
∴存在要求的点P，坐标为（1，0）或（3，0）．