已知圆O是△ABC的内切圆，与AC，BC分别切于D，E两点，如图所示，连接BD交圆O于点G，BC=BA=22，AC-4（I）求证：EG∥CO；（Ⅱ）求BC的长．

Question

已知圆O是△ABC的内切圆，与AC，BC分别切于D，E两点，如图所示，连接BD交圆O于点G，BC=BA=2√(2)，AC-4
（I）求证：EG∥CO；
（Ⅱ）求BC的长．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连结DE，∵BC=BA，∴∠CBA的平分线与AC边上的中线重合，
三角形的内切圆的圆心是三条角平分线的交点，
∴圆心O在直线BD上，
∴GD为圆O的直径，∴EG⊥ED，∴CO是∠ECD的角平分线，
又 O与AC、BC分别相切于D、E两点，
∴CE=CD，∴ED⊥CO，
∴EG∥CO．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：AD=DC=(1)/(2)AC=2，且∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD²=BC²-CD²=（2√(2)）²-2²=4，
∴BD=2，
由圆的切线长定理，得CE=CD=2，
∴BE=2√(2)-2，
由切割线定理得BE²=BG•BD，即（2√(2)-2）²=BG•2，
解得BG=6-4√(2)．