已知：如图1，在△ABC中，∠ABC=45°，H是高AD、BE的交点．（1）求证：BH=AC；（2）若∠A改成钝角后，结论BH=AC还成立吗？若成立请证明，若不成立，请说明理由．

Question

已知：如图1，在△ABC中，∠ABC=45°，H是高AD、BE的交点．

（1）求证：BH=AC；
（2）若∠A改成钝角后，结论BH=AC还成立吗？若成立请证明，若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，
∴∠DAC=∠EBC．
∵∠ABC=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形．
∴AD=BD．
在△BDH和△ADC中

∠EBC=∠DAC

BD=AD

∠BDH=∠ADC

∴△BDH≌△ADC（ASA）．
∴BH=AC．
（2）如图，HB=AC仍然成立．
证明：∵∠H+∠HAE=90°，∠C+∠CAD=90°，
又∵∠HAE=∠DAC，
∴∠H=∠C．
∵∠ABC=45°，∠ADB=90°，
∴三角形ABD是等腰直角三角形．
∴AD=BD．
在△BDH和△ADC中

∠H=∠C

∠HDB=∠CDA

BD=AD

∴△BDH≌△ADC（AAS）．
∴BH=AC．