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如图1,已知△ABC与△DCE都是等腰直角三角形,AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=90°,点D在AC上,直线BD交AE于点F.(1)请补充完整证明“BD=AE,BF⊥AE”的推理过程;证明:在△ACE与△BCD中∵()
题目详情
如图1,已知△ABC与△DCE都是等腰直角三角形,AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=90°,点D在AC上,直线BD交AE于点F.
(1)请补充完整证明“BD=AE,BF⊥AE”的推理过程;
证明:在△ACE与△BCD中
∵(______)
∴△ACE≌△BCD(SAS)
∴BD=AE,∠CAE=∠CBD(全等三角形的对应角相等)
∵∠ACE=90°
∴∠CAE+∠AEC=90°(______)
∴∠CBD+∠AEC=90°(等量代换)
∴______
∴BF⊥AE(垂直的定义)
(2)将△DCE绕着点C旋转,在旋转过程中保持△DCE的大小与形状均不变,那么,当△DCE旋转至图2的位置时,(1)中的结论是否仍然成立?为什么?

(1)请补充完整证明“BD=AE,BF⊥AE”的推理过程;
证明:在△ACE与△BCD中
∵(______)
∴△ACE≌△BCD(SAS)
∴BD=AE,∠CAE=∠CBD(全等三角形的对应角相等)
∵∠ACE=90°
∴∠CAE+∠AEC=90°(______)
∴∠CBD+∠AEC=90°(等量代换)
∴______
∴BF⊥AE(垂直的定义)
(2)将△DCE绕着点C旋转,在旋转过程中保持△DCE的大小与形状均不变,那么,当△DCE旋转至图2的位置时,(1)中的结论是否仍然成立?为什么?

▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵在△ACE和△BCD中
,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴BD=AE,∠CAE=∠CBD,
∵∠ACE=90°,
∴∠CAE+∠AEC=90°(直角三角形的两锐角互余),
∴∠BFE=90°,
∴BF⊥AE,
故答案为:AC=BC,∠DCB=∠ECA,CE=CD,直角三角形的两锐角互余,∠BFE=90°.
(2)(1)中的结论还成立,
理由是:∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE,
∴∠ACE=∠BCD,
在△ACE和△BCD中
,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴BD=AE,∠CAE=∠CBD,
∵∠ACE=90°,
∴∠CAE+∠AHC=90°,
∵∠AHC=∠BHF,∠HBF=∠CAH,
∴∠BHF+∠HBF=90°
∴∠BFE=90°,
∴BF⊥AE.
|
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴BD=AE,∠CAE=∠CBD,
∵∠ACE=90°,
∴∠CAE+∠AEC=90°(直角三角形的两锐角互余),
∴∠BFE=90°,
∴BF⊥AE,
故答案为:AC=BC,∠DCB=∠ECA,CE=CD,直角三角形的两锐角互余,∠BFE=90°.
(2)(1)中的结论还成立,
理由是:∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE,
∴∠ACE=∠BCD,
在△ACE和△BCD中
|
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴BD=AE,∠CAE=∠CBD,

∵∠ACE=90°,
∴∠CAE+∠AHC=90°,
∵∠AHC=∠BHF,∠HBF=∠CAH,
∴∠BHF+∠HBF=90°
∴∠BFE=90°,
∴BF⊥AE.
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