正方体ABCD-A'B'C'D'中,点P在侧面BCC'B'及其边上运动,并且总是保持AP⊥BD',则动点P的轨迹是A 线段B'CB 线段BC'C BB'中点与CC'中点连成的线段D BC中点与B'C'中点连成的线段

Question

正方体ABCD-A'B'C'D'中,点P在侧面BCC'B'及其边上运动,并且总是保持AP⊥BD',则动点P的轨迹是
A 线段B'C
B 线段BC'
C BB'中点与CC'中点连成的线段
D BC中点与B'C'中点连成的线段

Answer 1

答：A

证明：连结AC、AB“、BD、BD”、B”D“、BD交AC于O、连结OB“、OB”交BD“于点E,

∵D”D⊥平面ABCD,AC⊥BD,∴BD“⊥AC,

设BB”=DD“=1、则B“D”=BD=√2、BO=√2/2,

∴BD”=√(1+2)=√3,OB“=√(1+1/2)=√6/2,

∵B”D“/BO=1/2,∴EO=1/3*√6/2=√6/6,EB=1/3*√3=√3/3,

∵△OEB中,BO^2=(√2/2)^2=1/2,EO^2+EB^2=(√6/6)^2+(√3/3)^2=1/2,

∴∠OEB=Rt∠,即BD“⊥OB”,

∵平面ACB”中AC交OB“, ∴BD“⊥平面ACB”,即过点A和B”C上的动点P的直线⊥BD“,

∴动点P的轨迹是BD”,故选A.