已知：如图,直线与x轴相交于点A,与直线相交于点P.动点E从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿着OPA的路线向点A匀速运动（E不与点O,A重合）,过点E分别作EF⊥x轴于F,EB⊥y轴于B.设运动t

Question

已知：如图,直线 与x轴相交于点A,与直线 相交于点P.动点E从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿着OPA的路线向点A匀速运动（E不与点O,A重合）,过点E分别作EF⊥x轴于F,EB⊥y轴于B.设运动t秒时,矩形EBOF与△OPA重叠部分面积为S.

（1）求点P的坐标;
（2）请判断△OPA的形状并说明理由;
（3）请探究S与t之间的函数关系式,并指出t的取值范围.

Answer 1

（1） ;
（2）等边三角形;理由见解析;
（3） ．

试题分析：（1）由两直线相交可列出方程组,求出P点坐标;
（2）将y=0代入 ,可求出OA=4,作PD⊥OA于D,则OD=2,PD= ,利用tan∠POA= ,可知∠POA=60°,由OP=4．可知△POA是等边三角形;
（3）①当0＜t≤4时,在Rt△EOF中,∠EOF=60°,OE=t,则EF= ,OF= ,则S= •OF•EF= ;
②当4＜t＜8时,设EB与OP相交于点C,易知：CE=PE=t﹣4,AE=8﹣t,可得AF=4﹣ ,EF= （8﹣t）,有OF=OA﹣AF=4﹣（4﹣ ）= ,S= （CE+OF）•EF=﹣ +4 t﹣8 ．
试题解析：（1）由题意可得： ,
解得 ,
所以点P的坐标为（2, ）;
（2）将y=0代入y=﹣ x+4 ,得到：﹣ x+4 =0,
∴x=4,即OA=4,
作PD⊥OA于D,则OD=2,PD=2 ,
∵tan∠POA= = ,
∴∠POA=60°,
∵OP= ,
∴△POA是等边三角形;
（3）①当0＜t≤4时,如图,在Rt△EOF中,

∵∠EOF=60°,OE=t,
∴EF= ,OF= ,
∴S= •OF•EF= ．
②当4＜t＜8时,如图,设EB与OP相交于点C,

∵CE=PE=t﹣4,AE=8﹣t,
∴AF=4﹣ ,EF= （8﹣t）,
∴OF=OA﹣AF=4﹣（4﹣ ）= ,
∴S= （CE+OF）•EF= （t﹣4+ t）× （8﹣t）= ．