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如果一条抛物线与轴有两个交点,那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.(1)“抛物线三角形”一定是三角形;(2)若抛物线的“
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如果一条抛物线与轴有两个交点,那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.
(1)“抛物线三角形”一定是______三角形;
(2)若抛物线的“抛物线三角形”是直角三角形,求b的值;
(3)若抛物线y=x2+bx与x轴交于原点O和点B,抛物线的顶点坐标为A,△ABO是“抛物线三角形”,是否存在以原点为对称中心的矩形?若存在,求出过三点的抛物线的表达式;若不存在,说明理由.
(1)“抛物线三角形”一定是______三角形;
(2)若抛物线的“抛物线三角形”是直角三角形,求b的值;
(3)若抛物线y=x2+bx与x轴交于原点O和点B,抛物线的顶点坐标为A,△ABO是“抛物线三角形”,是否存在以原点为对称中心的矩形?若存在,求出过三点的抛物线的表达式;若不存在,说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)如图;
根据抛物线的对称性,抛物线的顶点A必在O、B的垂直平分线上,所以OA=AB,即:“抛物线三角形”必为等腰三角形.
故答案为:等腰;
(2)
∵“抛物线三角形”是直角三角形,
∴此“物线三角形”是等腰直角三角形,抛物线的顶点坐标为(b,
),
把y=0代入得解得x=0或b
根据题意得
=
b
∴b=0或2(0舍去),
∴b=2
(3)存在.
当b<0时,作AH⊥OB于H点,如图,
把y=0代入y=x2+bx得解得x1=0,x2=-b′,
∴B点坐标为(-b′,0),
∴A点坐标为(
,
)
∵矩形ABCD以原点O为对称中心,
∴OA=OB=OC=OD,
∴△OAB为等边三角形,
∴AH=
解得b1′=0,b22
∴A点坐标为(−
,-3),B点坐标为(−2
,0)
∴C点坐标为(
,3),D点坐标为(2
,0)
设过O、C、D三点的抛物线的解析式为y=ax(x-2
根据抛物线的对称性,抛物线的顶点A必在O、B的垂直平分线上,所以OA=AB,即:“抛物线三角形”必为等腰三角形.
故答案为:等腰;
(2)
∵“抛物线三角形”是直角三角形,
∴此“物线三角形”是等腰直角三角形,抛物线的顶点坐标为(b,
b2 |
4 |
把y=0代入得解得x=0或b
根据题意得
b2 |
4 |
1 |
2 |
∴b=0或2(0舍去),
∴b=2
(3)存在.
当b<0时,作AH⊥OB于H点,如图,
把y=0代入y=x2+bx得解得x1=0,x2=-b′,
∴B点坐标为(-b′,0),
∴A点坐标为(
b |
2 |
b2 |
4 |
∵矩形ABCD以原点O为对称中心,
∴OA=OB=OC=OD,
∴△OAB为等边三角形,
∴AH=
b2 |
4 |
解得b1′=0,b22
3 |
∴A点坐标为(−
3 |
3 |
∴C点坐标为(
3 |
3 |
设过O、C、D三点的抛物线的解析式为y=ax(x-2
作业帮用户
2017-11-02
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