（2014•百色）已知过原点O的两直线与圆心为M（0，4），半径为2的圆相切，切点分别为P、Q，PQ交y轴于点K，抛物线经过P、Q两点，顶点为N（0，6），且与x轴交于A、B两点．（1）求点P的坐标；

Question

（2014•百色）已知过原点O的两直线与圆心为M（0，4），半径为2的圆相切，切点分别为P、Q，PQ交y轴于点K，抛物线经过P、Q两点，顶点为N（0，6），且与x轴交于A、B两点．

（1）求点P的坐标；
（2）求抛物线解析式；
（3）在直线y=nx+m中，当n=0，m≠0时，y=m是平行于x轴的直线，设直线y=m与抛物线相交于点C、D，当该直线与⊙M相切时，求点A、B、C、D围成的多边形的面积（结果保留根号）．

Answer 1

（1）如图1，

∵⊙M与OP相切于点P，
∴MP⊥OP，即∠MPO=90°．
∵点M（0，4）即OM=4，MP=2，
∴OP=2√(3)．
∵⊙M与OP相切于点P，⊙M与OQ相切于点Q，
∴OQ=OP，∠POK=∠QOK．
∴OK⊥PQ，QK=PK．
∴PK=(PM•PO)/(OM)=(2×2√(3))/(4)=√(3)．
∴OK=√(OP2−PK2)=3．
∴点P的坐标为（√(3)，3）．

（2）如图2，

设顶点为（0，6）的抛物线的解析式为y=ax²+6，
∵点P（√(3)，3）在抛物线y=ax²+6上，
∴3a+6=3．
解得：a=-1．
则该抛物线的解析式为y=-x²+6．

（3）当直线y=m与⊙M相切时，
则有

.

m−4

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