（文科）已知动圆P与圆F1：x2+（y+2）2=1214内切，与圆F2：x2+（y-2）2=14外切，记动圆圆心点P的轨迹为E．（Ⅰ）求轨迹E的方程；（Ⅱ）若直线l过点F2且与轨迹E相交于P、Q两点．（i）若△F1PQ的

Question

（文科）已知动圆P与圆F₁：x²+（y+2）²=(121)/(4)内切，与圆F₂：x²+（y-2）²=(1)/(4)外切，记动圆圆心点P的轨迹为E．
（Ⅰ）求轨迹E的方程；
（Ⅱ）若直线l过点F₂且与轨迹E相交于P、Q两点．
（i）若△F₁PQ的内切圆半径r=(10)/(9)，求△F₁PQ的面积；
（ii）设点M（0，m），问：是否存在实数m，使得直线l绕点F₂无论怎样转动，都有

MP

•

MQ

=0成立？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）设动圆圆心P（x，y），半径为r，
∵动圆P与圆F₁：x²+（y+2）²=(121)/(4)内切，与圆F₂：x²+（y-2）²=(1)/(4)外切，
∴|PF₁|=(11)/(2)-r，|PF₂|=(1)/(2)+r，
∴|PF₂|+|PF₁|=6＞4，
∴点M的轨迹是以点F₁，F₂为焦点的椭圆，
此时2a=6，2c=4，
即a=3，c=2，b²=5，
∴动圆圆心P的轨迹方程E是：(y2)/(9)+(x2)/(5)=1；
（II）（i）∵△F₁PQ的周长为C=4a=12，△F₁PQ的内切圆半径r=(10)/(9)，
∴△F₁PQ的面积S=(1)/(2)Cr=(1)/(2)×12×(10)/(9)=(20)/(3)；
（ii）假设存在点M（0，m），使得无论怎样转动，都有

MP

•

MQ

=0成立
当直线l的斜率不存在时，P，Q两点的坐标为（0，3），（0，-3），
此时M，P，Q三点共线，
若

MP

•

MQ

=0则

MP

=0或

MQ

=0，即m=-3，或m=3，
当直线l的斜率为0时，P，Q两点的坐标为（(5)/(3)，2），（-(5)/(3)，2），
此时若

MP

•

MQ

=0，则△MPQ为等腰直角三角形，则m=(1)/(2)，或m=(11)/(2)，
均不存在实数m，使得直线l绕点F₂无论怎样转动，都有

MP

•

MQ

=0成立．