如图,已知点F（0,1）,直线L：y=-2,及圆C：x2+（y-3）2=1． （1）若动点M到点F的如图,已知点F（0,1）,直线L：y=-2,及圆C：x2+（y-3）2=1．（1）若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1,求动点M的轨迹

Question

如图,已知点F（0,1）,直线L：y=-2,及圆C：x2+（y-3）2=1． （1）若动点M到点F的
如图,已知点F（0,1）,直线L：y=-2,及圆C：x2+（y-3）2=1．
（1）若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1,求动点M的轨迹E的方程；
（2）过轨迹E上一点P作圆C的切线,切点为A、B,要使四边形PACB的面积S最小,求点P的坐标及S的最小值．

Answer 1

如图：

(1)由题意可知,动点M到点F的距离等于它到直线 y=-1的距离.

设动点M的坐标为（x,y）,则有√[x^2+(y-1)^2]=|y+1|,即x^2=4y

 所以动点M的轨迹E的方程为：x^2=4y

(2)圆的半径 r=1

   S(pacb)=r*PA=r√(PC2-r2)

   当PC最小时,面积S具有最小值.

  设P(x,y),则 PC2=x2+(y-3)2=4y+(y-3)2=(y-1)2+8

    y=1时,PC2有最小值8

                S最小值=√(8-1) =√7

   此时点P坐标：(±2,1)