如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：x2+（y-3）2=1．（1）若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；（2）过点F的直线g交轨迹E于G（x1，y1）、H（x2，y2）两点

题目详情

如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：x²+（y-3）²=1．
（1）若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；
（2）过点F的直线g交轨迹E于G（x₁，y₁）、H（x₂，y₂）两点，求证：x₁x₂ 为定值；
（3）过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值．

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答案和解析

（1）由动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，可得M到点F的距离与它到直y=-1的距离相等
由抛物线的定义可知M的轨迹是以F为焦点，以y=-1为准线的抛物线
其方程为x²=4y
（2）由题意可得直线g的斜率存在，故可设直线g的方程为y=kx+1
联立方程

y＝kx+1

x2＝4y

整理可得 x²-4kx-4=0
由方程的根与系数关系可得x₁x₂=-4
（3）设P（x，y），则x²=4y（y≥0）
由圆的切线的性质可得PA=PB，CA⊥PA，CB⊥PB
S_{四边形PACB}=2S_△PAC=2×

×PA×AC=PA
=

PC2−1

x2+(y−3)2−1

＝

y2−2y+8

(y−1)2+7

≥

∴P（±2，1），Smin＝