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如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：x2+（y-3）2=1．（1）若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；（2）过点F的直线g交轨迹E于G（x1，y1）、H（x2，y2）两点
题目详情
如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：x2+（y-3）2=1．（1）若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；
（2）过点F的直线g交轨迹E于G（x1，y1）、H（x2，y2）两点，求证：x1x2 为定值；
（3）过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值．
▼优质解答
答案和解析
（1）由动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，可得M到点F的距离与它到直y=-1的距离相等
由抛物线的定义可知M的轨迹是以F为焦点，以y=-1为准线的抛物线
其方程为x2=4y
（2）由题意可得直线g的斜率存在，故可设直线g的方程为y=kx+1
联立方程
整理可得 x2-4kx-4=0
由方程的根与系数关系可得x1x2=-4
（3）设P（x，y），则x2=4y（y≥0）
由圆的切线的性质可得PA=PB，CA⊥PA，CB⊥PB
S四边形PACB=2S△PAC=2×
×PA×AC=PA
=
=
＝
=
≥
∴P（±2，1），Smin＝
由抛物线的定义可知M的轨迹是以F为焦点，以y=-1为准线的抛物线
其方程为x2=4y
（2）由题意可得直线g的斜率存在，故可设直线g的方程为y=kx+1
联立方程
|
由方程的根与系数关系可得x1x2=-4
（3）设P（x，y），则x2=4y（y≥0）
由圆的切线的性质可得PA=PB，CA⊥PA，CB⊥PB
S四边形PACB=2S△PAC=2×
| 1 |
| 2 |
=
| PC2−1 |
| x2+(y−3)2−1 |
| y2−2y+8 |
| (y−1)2+7 |
| 7 |
∴P（±2，1），Smin＝
|
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