直线l:y=kx+1与椭圆C阿ax^2+y^2=2(a>1)交于A、B两点,以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB(0为坐标原点）（1）若k=1,且四边形OAPB为矩形,求a的值；（2）若a=2,当k变化时（k属于R),求点P的轨迹方程

Question

直线l:y=kx+1与椭圆C阿ax^2+y^2=2(a>1)交于A、B两点,以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB(0为坐标原点）
（1）若k=1,且四边形OAPB为矩形,求a的值；
（2）若a=2,当k变化时（k属于R),求点P的轨迹方程

Answer 1

解;
设A(x1,y1),B(x2,y2)
(1)因为是矩形,所以OA垂直OB,所以kOA*kOB=-1,
将y=x+1,代入到ax^2+y^2=2中去可以得到x1*x2=-1/(1+a),y1*y2=(a-2)/(a+1),所以得到a=3
(2)设P(x',y')因为BP的向量与OA的向量平行,所以x=x1+x2,y=y1+y2,
x1+x2=-2k/(2+k^2),y1+y2=4/(k^2+2),k=-2x/y将其代入进y1+y2=4/(k^2+2)=y中,得到:2x^2+y^2-2y=0既为P的轨迹方程