等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在表的同一列．第一列第二列第三列

Question

等比数列{a _n }中，a ₁ ，a ₂ ，a ₃ 分别是表第一、二、三行中的某一个数，且a ₁ ，a ₂ ，a ₃ 中的任何两个数不在表的同一列．

	第一列	第二列	第三列
第一行	3	2	10
第二行	6	4	14
第三行	9	8	18

（1）求数列{a _n }的通项公式；
（2）若函数f（x）对任意的x∈R都有f（x）+f（1-x）=1，数列{b _n }满足 b n =f(0)+f((1)/(n) )+f((2)/(n) )+… +f((n-1)/(n) )+f(1) ，设c _n =a _n b _n ，求数列{c _n }的前n项和S _n ．

Answer 1

（1）当a ₁ =3时，不合题意
当a ₁ =2时，当且仅当a ₂ =6，a ₃ =18时符合题意，
当a ₁ =10时，不合题意
因此a ₁ =2，a ₂ =6，a ₃ =18，所以q=3，
所以 a n =2× 3 n-1 ．
（2）∵函数f（x）对任意的x∈R都有f（x）+f（1-x）=1，
∴f（ (1)/(2) ）+f（1- (1)/(2) ）=1，解得f（ (1)/(2) ）= (1)/(2) ，
∴b ₁ =f（0）+f（1）=1，
b 2 =f(0)+f((1)/(2) )+f(1) =1+ (1)/(2) =(3)/(2) ，
b 3 =f(0)+f((1)/(3) )+f((2)/(3) )+f(1)=2 ，
当n为奇数时， b n =(n+1)/(2) ；当n为偶数时， b n =(n)/(2) +(1)/(2) =(n+1)/(2) ，
∴ b n =(n+1)/(2) ．
∵ a n =2× 3 n-1 ， b n =(n+1)/(2) ，
∴c _n =a _n b _n =（n+1）•3 ^n-1 ，
∴数列{c _n }的前n项和S _n =c ₁ +c ₂ +…+c _n =2+3×3+4×3 ² +…+n•3 ^n-2 +（n+1）•3 ^n-1 ，①
3S _n =2×3+3×3 ² +4×3 ³ +…+n•3 ^n-1 +（n+1）•3 ⁿ ，②
①-②，得-2S _n =2+3+3 ² +3 ³ +…+3 ^n-1 -（n+1）•3 ⁿ
=2+ (3(1- 3n-1 ))/(1-3) -（n+1）•3 ⁿ
=2- (3)/(2) + (3n)/(2) -（n+1）•3 ⁿ
= (1)/(2) - (2n+1)/(2) • 3 n ，
∴ S n =(2n+1)/(4) • 3 n -(1)/(4) ．