（2010•台州二模）如图，四边形ABCD是圆台OO1的轴截面，AB=2CD=4，点M在底面圆周上，且∠AOM＝π2，DM⊥AC．（I）求圆台OO1的体积；（II）求二面角A-DM-O的余弦值．

Question

（2010•台州二模）如图，四边形ABCD是圆台OO₁的轴截面，AB=2CD=4，点M在底面圆周上，且∠AOM＝(π)/(2)，DM⊥AC．
（I）求圆台OO₁的体积；
（II）求二面角A-DM-O的余弦值．

Answer 1

（I）由题意可得OO₁、OM、OB两两互相垂直，
以O为原点，分别以直线OM、OB、OO₁为x、y、z轴建立空间直角坐标系-----（2分）
设OO₁=h（h＞0），则D（0，-1，h），M（2，0，0），A（0，-2，0），C（0，1，h）∴

DM

＝(2，1，−h)，

AC

＝(0，3，h)w∵DM⊥AC∴

DM

•

AC

＝3−h2＝0
解得h＝√(3)------（6分）∴圆台OO₁的体积V＝(1)/(3)πh(r12+r1r2+

r

2 2

)＝(7√(3)π)/(3)．------（7分）
（II）

AM

＝(2，2，0)，

作业帮用户 2017-09-25

问题解析

（I）由已知中∠AOM＝(π)/(2)，可得OO₁、OM、OB两两互相垂直，故可以O为原点，分别以直线OM、OB、OO₁为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出圆台的高OO₁=h值后，代入圆台OO₁的体积公式V＝(1)/(3)πh(r12+r1r2+

r

2 2

)即可得到答案．
（II）分别求出平面ADM、平面ODM的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角A-DM-O的余弦值．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

考点点评：

本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，圆台的体积，其中（I）的关键是求出圆台的高，熟练掌握圆台的体积公式，（II）的关键是求出两个平面的法向量．

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