如图，△ABC的内切圆分别切BC，CA、AB三边于D、E、F，M是EF上一点，且DM⊥EF，求证：DM平分∠BMC．

Question

如图，△ABC的内切圆分别切BC，CA、AB三边于D、E、F，M是EF上一点，且DM⊥EF，求证：DM平分∠BMC．

Answer 1

证明：连接DF、DE，设N、K分别是DF、DE的中点，连接BN、CK，OF，OD．则：
∵△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB三边于D、E、F，
∴BF=BD，CD=CE，
∴BN⊥DF，CK⊥DE，∠FBN=(1)/(2)∠FBD，
∵∠DOF=2∠E，∠DOF+∠FBD=180°，∠MDE+∠E=90°，
∴∠FBN=∠EDM，
∵DM⊥EM，
∴∠BNF=∠DME=90°，
∴Rt△BFN∽Rt△DEM，
∴(BF)/(DE)=(FN)/(ME)=(FD)/(2ME)，
同理：Rt△CEK∽Rt△DFM，(CE)/(DF)=(EK)/(FM)=(ED)/(2FM)，
∴BF•ME=(1)/(2)DF•DE=CE•FM，
∴(BR)/(CE)=(FM)/(ME)，而∠BFM=∠CEM，
∴△BFM∽△CEM，
∴∠BMF=∠CME．
∵DM⊥EF，∴∠BMD=∠CMD．
即DM平分∠BMC．