（2012•黔东南州一模）已知函数f(x)＝xlnx+alnxx(x＞1)的图象经过(e2，e22+2e2)（其中e为自然对数的底数，e≈2.71）．（Ⅰ）求实数a；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）证明：对于任意的n∈N*，

Question

（2012•黔东南州一模）已知函数f(x)＝(x)/(lnx)+(alnx)/(x)(x＞1)的图象经过(e2，(e2)/(2)+(2)/(e2))（其中e为自然对数的底数，e≈2.71）．
（Ⅰ）求实数a；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）证明：对于任意的n∈N*，都有(e+(1)/(e))((e2)/(2)+(2)/(e2))×…×((en)/(n)+(n)/(en))≥(e+(1)/(e))n成立．

Answer 1

（Ⅰ）由y=f（x）的图象过点(e2，(e2)/(2)+(2)/(e2))得(e2)/(2)+(2)/(e2)＝(e2)/(lne2)+(alne2)/(e2)，所以a=1．         …（2分）
（Ⅱ）求导数可得：f′(x)＝(lnx−1)/((lnx)2)+(1−lnx)/(x2)＝((lnx−1)(x+lnx)(x−lnx))/(x2(lnx)2)…（4分）
由x＞1知(x+lnx)/(x2(lnx)2)＞0，
令g（x）=x-lnx，则g′(x)＝(x−1)/(x)＞0，故g（x）在（1，+∞）上为增函数，当x＞1时，g（x）=x-lnx＞g（1）＞0
令f′（x）=0得x=e，令f′（x）＞0得，x＞e，令f′（x）＜0得1＜x＜e
故f（x）的增区间为（e，+∞），减区间为（1，e）．                             …（7分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，f（x）在区间（1，+∞）上的最小值为f(e)＝e+(1)/(e)…（8分）
即当x＞1时，f(x)≥e+(1)/(e)恒成立
当n∈N^*时，令x=eⁿ≥e＞1，则有f(en)≥e+(1)/(e)，即(en)/(n)+(n)/(en)≥e+(1)/(e)＞0…（10分）
故(e+(1)/(e))((e2)/(2)+(2)/(e2))×…×((en)/(n)+(n)/(en))≥(e+

作业帮用户 2017-10-16

问题解析

（Ⅰ）利用函数y=f（x）的图象过点(e2，

(e2)/(2)+(2)/(e2))，建立方程，即可求得实数a；
（Ⅱ）求导数，求得f′（x）=0时，x=e，从而由导数的正负，可得f（x）的单调区间；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在区间（1，+∞）上的最小值为f(e)＝e+(1)/(e)，从而可得当x＞1时，f(x)≥e+(1)/(e)恒成立，当n∈N^*时，令x=eⁿ≥e＞1，则有f(en)≥e+(1)/(e)，由此可证结论．

名师点评

本题考点：

利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评：

本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，求得函数的单调性，确定最值是关键．

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