下列关于函数y=x2-6x+10的四个命题：①当x=0时，y有最小值10；②n为任意实数，x=3+n时的函数值大于x=3-n时的函数值；③若n>3，且n是整数，当n≤x≤n+1时，y的整数值有（2n-4）个；④若函数图

Question

下列关于函数y=x²-6x+10的四个命题：
①当x=0时，y有最小值10；
②n为任意实数，x=3+n时的函数值大于x=3-n时的函数值；
③若n>3，且n是整数，当n≤x≤n+1时，y的整数值有（2n-4）个；
④若函数图象过点（a，y₀）和（b，y₀+1），其中a>0，b>0，则a<b．
其中真命题的序号是（　　）

A. ①

B. ②

C. ③

D. ④

Answer 1

∵y=x²-6x+10=（x-3）²+1，
∴当x=3时，y有最小值1，故①错误；
当x=3+n时，y=（3+n）²-6（3+n）+10，
当x=3-n时，y=（n-3）²-6（n-3）+10，
∵（3+n）²-6（3+n）+10-[（n-3）²-6（n-3）+10]=0，
∴n为任意实数，x=3+n时的函数值等于x=3-n时的函数值，故②错误；
∵抛物线y=x²-6x+10的对称轴为x=3，a=1>0，
∴当x>3时，y随x的增大而增大，
当x=n+1时，y=（n+1）²-6（n+1）+10，
当x=n时，y=n²-6n+10，
（n+1）²-6（n+1）+10-[n²-6n+10]=2n-4，
∵n是整数，
∴2n-4是整数，故③正确；
∵抛物线y=x²-6x+10的对称轴为x=3，1>0，
∴当x>3时，y随x的增大而增大，x<0时，y随x的增大而减小，
∵y₀+1>y₀，∴当0b，当a>3，b>3时，a3时，a，b的大小不确定，故④错误；
故选C．