关于函数导数的问题1、求函数f(x)=x^n(n属于正自然数）在x=a处的导数.f'(a)=(x^n-a^n)/(x-a)=(x^(n-1)+ax^(n-2)+...+a^(n-1)=na^(n-1)以上都是在x→a的极限下.我想知道最后两步是怎么得来的,具体是依照什么公

Question

关于函数导数的问题
1、求函数f(x)=x^n(n属于正自然数）在x=a处的导数.
f'(a)=(x^n-a^n)/(x-a)=(x^(n-1)+ax^(n-2)+...+a^(n-1)=na^(n-1)
以上都是在x→a的极限下.
我想知道最后两步是怎么得来的,具体是依照什么公式?
2、下列各题中均假定f'(x0)存在,按照导数的定义观察下列极限,指出A表示什么?
（1）x→0的极限下f(x)/x=A,其中f(0)=0,且发f'(0)存在；A=f'(0).
(2)h→0的极限下[f(x0+h)-f(x0-h)]/h=A;A=2f'(xo).
上面两小题的答案我都写在相应题的后面,但我不知这答案是怎么来的,

Answer 1

1.
第一步:分解因式
x^n-a^n
=(x-a)[x^(n-1)+a*x^(n-2)+a^2*x^(n-3)+……+a^(n-2)*x+a^(n-1)]
第二步:分子分母消去相同的项(x-a),然后直接代入x=a,
即得n个a^(n-1)相加,所以结果是na^(n-1).
2.
(1)f(0)=0,则
f'(0)
=lim(x->0)[f(x)-f(0)]/(x-0)
=lim(x->0)[f(x)/x]
=A
(2)
假定f'(x0)存在,则
A=lim(h→0)[f(x0+h)-f(x0-h)]/h
=lim(h→0)[f(x0+h)-f(x0)+f(x0)-f(x0-h)]/h
=lim(h→0)[f(x0+h)-f(x0)]/h+lim(h→0)[f(x0)-f(x0-h)]/h
=lim(h→0)[f(x0+h)-f(x0)]/(h-0)+lim(h→0)[f(x0-h)-f(x0)]/(-h)
=f'(0)+lim(-h→0)[f(x0-h)-f(x0)]/(-h-0)
=f'(0)+f'(0)
=2f'(0)