已知函数f(x)＝0(x≤0)n[x−(n−1)]+f(n−1)(n−1＜x≤n，n∈N*)数列{an}满足an=f（n）（n∈N*）（1）求数列{an}的通项公式；（2）设x轴、直线x=a与函数y=f（x）的图象所围成的封闭图形的面积为S（a）

Question

f(x)＝

0	(x≤0)
n[x−(n−1)]+f(n−1)	(n−1＜x≤n，n∈N*)

数列{a_n}满足a_n=f（n）（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设x轴、直线x=a与函数y=f（x）的图象所围成的封闭图形的面积为S（a）（a≥0），求S（n）-S（n-1）（n∈N^*）；
（3）在集合M={N|N=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}中，是否存在正整数N，使得不等式a_n-1005＞S（n）-S（n-1）对一切n＞N恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由．

0	(x≤0)
n[x−(n−1)]+f(n−1)	(n−1＜x≤n，n∈N*)

0	(x≤0)
n[x−(n−1)]+f(n−1)	(n−1＜x≤n，n∈N*)

0	(x≤0)
n[x−(n−1)]+f(n−1)	(n−1＜x≤n，n∈N*)

0	(x≤0)
n[x−(n−1)]+f(n−1)	(n−1＜x≤n，n∈N*)

0(x≤0)0(x≤0)n[x−(n−1)]+f(n−1)(n−1＜x≤n，n∈N*)n[x−(n−1)]+f(n−1)(n−1＜x≤n，n∈N*)_nn^*
_n
^*
_n

Answer 1

（1）由题意，f（n）=n[n-（n-1）]+f（n-1），∴f（n）-f（n-1）=n∴f（1）-f（0）=1，f（2）-f（1）=2，…，f（n）-f（n-1）=n，叠加可得f（n）-f（0）=1+2+…+n=n(n+1)2∵f（0）=0∴f（n）=n(n+1)2∴an=n(n+1)2；...