如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=4，点M在线段AB上．（1）若CM=13，求AM的长；（2）若点N在线段MB上，且∠MCN=30°，求△MCN的面积最小值并求△MCN的最小面积时MN的长．

Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=4，点M在线段AB上．
（1）若CM=√(13)，求AM的长；
（2）若点N在线段MB上，且∠MCN=30°，求△MCN的面积最小值并求△MCN的最小面积时MN的长．

Answer 1

（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=4，点M在线段AB上．
∵CM=√(13)，
∴CM²=AC²+AM²-2AC•AMcosA；
即13=16+AM²-4•AM，
解得AM=1或AM=3．
（2）设∠ACM=α，α∈[0°，60°]在△ACN中，由正弦定理得：(CN)/(sinA)＝(AC)/(sin∠CNA)＝(AC)/(sin(90°+α))＝(AC)/(cosα)
∴CN＝(2√(3))/(cosα)．
在△ACM中，由正弦定理得：(CM)/(sinA)＝(AC)/(sin∠AMC)＝(AC)/(sin(60°+α))
∴CM＝(2√(3))/(sin(60°+α))．
∴S△MCN＝(1)/(2)CM•CNsin∠MCN=(3)/(sin(60°+α)cosα)=(12)/(2sin(2α+60°)+√(3))，
∵0°≤α≤60°
∴60°≤2α+60°≤180°，
∴0≤sin（2α+60°）≤1
∴当α=15°时，△MCN的面积最小为：24-12√(3)，
此时MN最小值为