如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD＝1，PD＝.（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（3）在线段P

Question

如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝ CD＝1，PD＝ .

（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；
（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（3）在线段PC上是否存在一点Q（除去端点），使得平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为 ？

Answer 1

（1）详见解析；（2） ；（3） 上存在 满足条件.

试题分析：（1）条件中出现了中点，需要证明的结论为线面平行，因此可以考虑构造三角形中位线证明线线平行，因此在矩形 中，连结 交 于 ，则点 为 的中点．则 为 的中位线，从而 ，又 平面 平面 可知 平面 ；（2）题中出现了线面垂直，因此可以考虑建立空间直角坐标系利用空间向量求解，可以 为原点， 所在的直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，根据条件中数据，可先写出点的坐标：
，
从而可以得到向量的坐标： ，因此可求得平面 的法向量为 ，设直线 与平面 所成角为 ，利用 即可求得；
（3）假设存在满足已知条件的 ，由 ，得 ，可分别求得平面 的法向量为 ，再由平面 的法向量 ，则由两平面所成锐二面角大小为 可以得到关于 的方程： ，可解得 或 （舍去），方程有解，即说明 上存在 满足条件.
试题解析：（1）如图，在矩形 中，连结 交 于 ，则点 为

作业帮用户 2017-11-16

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